Las dimensiones que existen el el mundo

¿Cuántas Dimensiones existen?

La pregunta de arriba tiene una clara respuesta para casi todo el mundo: “Tres: alto, ancho y profundo”. Desde finales del siglo XIX y principios del XX sabemos que a esas tres tenemos que añadir una cuarta, el tiempo, íntimamente ligada a las tres espaciales mediante las leyes de la relatividad especial, en ausencia de campos gravitatorios, o larelatividad general en presencia de estos. Leyendo como es habitual la Revista Española de Física que me envían como Socio Numerario, uno de los artículos me llamó la atención, lo escribe D. José Santiago (CAFPE y Departamento de Física Teórica y del Cosmos) de la Universidad de Granada, en este trabajo trata de mostrar al lector que el número de dimensiones espacio-temporales podría ser mayor que esas cuatro. La existencia de dichas dimensiones extra pueden ayudarnos a comprender algunas de las misteriosas propiedades de la física de las partículas elementales, en cuyo caso, su descubrimiento experimental estaría a la vuelta de la esquina.

Representación de Minkowski en el que obviamos explicar el galimatias de letras, números y coordenadas que están ahí implicados. La idea de nuevas dimensiones espaciales no es nueva. De hecho, pocos años después de que Einstein presentase la teoría de la relatividad general, Kaluza primero, y Klein después que la perfeccionó, propusieron una teoría cinco-dimensional (con una dimensión espacial extra) para unificar las interacciones gravitatorias y electromagnética. La idea consistía en que el fotón, la partícula que media las interacciones electromagnéticas, podría ser una componente a lo largo de la quinta dimensión del gravitón, mediador de interacciones gravitatorias. Así, la invariancia gauge asociada a la electrodinámica no es más que un remanente de la invariancia bajo reparametrizaciones propia de la relatividad general.

 La teoría de Kaluza-Klein no consigue reproducir con éxito los datos experimentales y fue esencialmente abandonada hasta finales de los setenta y principio de los ochenta, en la que estudios de supersimetría y supergravedad y sobre todo la formulación de teoría de cuerdas, que requiere al menos nueve dimensiones espaciales para para ser consistente, supusieron un revulsivo en el que modelos con dimensiones extra volvieron a considerarse una seria posibilidad. Esas dimensiones extra de las que hablan tendrían que encontrarse en el orden de la eslacala de Planck, es decir, L_p ≈ 1,6 x 10 ^-35 m., lo que garantiza que no estuviesen excluidas experimentalmente, pero al mismo tiempo las hacía totalmente irrelevantes desde el punto de vista denomenológico.

Nuestro Universo, además de las tres dimensiones conocidas, tendría seis dimensiones más ocultas, según un modelo matemático que ha recreado las condiciones iniciales de la formación del Universo.

¿En qué nos pueden ayudar las dimensiones extra? Uno de los mayores misterios de la física de partículas es el mecanismo por el que la simetría electrodébil se rompe espontáneamente. En dicha rotura -que distinque entre la simetría débil, espontáneamente rota y por tanto con interacciones de corto alcance, y la simetría electromagnética, que no se rompe y por tanto involucra intercciones de alcance infinito- radica origen de la masa de las partículas elementales.

1 Observación de dimensiones extra La manera más sencilla de responder la pregunta “Si existen las dimensiones extra, ¿por qué no las hemos visto todavía?” es que éstas son demasiado pequeñas. Una simple analogía sería cómo la cuerda de un equilibrista puede parecer uni-dimensional para un observador que mira desde lejos mientras que una homriga que camina sobre la misma cuerda la aprecia como una superficie bi-dimensional. ¿Cómo podemos “acercarnos” en experimentos e física de partículas para ver las dimensiones extra? Los experimentos de física de partículas son fundamentalmente experimentos de colisión, en los que aceleramos haces de partículas hasta que tienen una energía determinada y los hacemos colisionar, estudiando el resultado de dicha colisión..  Para ver cómo experimentos a suficiente energía nos permitirían observar las dimensiones extra, imaginemos un modelo con una dimensión extra circular de radio R. Una partícula de masa cero en dicho espacio viene representada por un campo cinco-dimensional (por simplicidad consideramos una partícula escalar),

2 Dimensiones extra alabeadas.

El modelo de Randall-Sundrum (RS) [9,10], prototipo de modelos con dimensiones extra alabeadas, consiste en una sección de espacio de Anti-de-Sitter cinco-dimensional. La dimensión extra acaba en dos subespacios cuatridimensionales, denominados branas ultravioleta e infrarroja, respectivamente. La principal asunción que justifica la naturalidad del modelo, es que existe una única escala fundamental, del orden de la escala de Planck. Todos los parámetros dimensionales fundamentales, incluyendo la curvatura del espacio-tiempo o el tamaño de la dimensión extra, son del mismo orden. La escala electrodébil, sin embargo, está naturalmente suprimida con respecto a la escala fundamental debido al enorme corrimiento al rojo que induce la curvatura, resolviendo así el problema de la jerarquía..

Otros modelos de dimensiones.

1.-Dimensiones extra planas a la escala electrodébil. Otra posibilidad, cuyo interés es fundamentalmente fenomenológico, es que existan dimensiones extra planas de un tamaño un poco inferior a la escala electrodébil. Aunque dichos modelos no resuelvan de por sí el problema de la jerarquía, predicen una fenomenología excitante en el LHC, en ocasiones con señales que pueden simular modelos supersimétricos.

3 Dimensiones accesibles sólo a gravedad.

La interacción gravitatoria, debido a que su intensidad es mucho menor que las otras tres interacciones fundamentales (la fuerte, la débil y la electromagnética) sólo ha podido ser estudiada a distancias del orden de 0.1 mm o mayores. A raíz de esta cota tan poco restrictiva Arkani-Hamed, Dimopoulos y Dvali (ADD) hicieron en 1998 la atrevida propuesta de que podrían existir dimensiones extra hasta de 0.1 mm de tamaño. Para que esta propuesta fuese permitida experimentalmente, las interacciones fundamentales aparte de la gravitatoria, los fermiones y el sector de rotura espontánea de la simetría tenían que estar confinados a un sub-espacio cuatri-dimensional, una brna, de manera que sólo la interacción gravitatoria pudiese propagarse por las dimensiones extra.

Poco después de la propuesta de ADD, se descubrió que si las dimensiones extra son accesibles sólo a la interacción gravitatoria, estas dimensiones no solo pueden tener un tamaño macroscópico, sino que pueden ser incluso infinitas.

 Otra posibilidad de tener dimensiones extra infinitas, incluso en espacio plano, fue propuesta por Dvali, Gabadadze y Porrati (DGP). La idea parte de nuevo de modelos en los que el resto de materia e interacciones está confinado a una brana cuatri-dimensional dentro del espacio cinco-dimensional. Si en dicha brana se induce (por efectos cuánticos, por ejemplo) un término de Einstein-Hilbert localizado, con una constante de Planck (l4) diferente de la cinco-dimensional (l₅), se forma una nueva escala efectiva

En física y matemáticas, la dimensión de un espacio u objeto se define informalmente como el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar cualquier punto de ella Así, una línea tiene una dimensión porque sólo se necesita una coordenada para especificar un punto de la misma. Una superficie, tal como un plano o la superficie de un cilindro o una esfera, tiene dos dimensiones, porque se necesitan dos coordenadas para especificar un punto en ella (por ejemplo, para localizar un punto en la superficie de una esfera se necesita su latitud y longitud). El interior de un cubo, un cilindro o una esfera es tridimensional porque son necesarias tres coordenadas para localizar un punto dentro de estos espacios.

La dimensión (del latín dimensiō abstracto de dimetiri 'medir') es un número relacionado con las propiedades métricas o topológicas de un objeto matemático. La dimensión de un objeto es una medida topológica del tamaño de sus propiedades de recubrimiento. Existen diversas medidas o conceptualizaciones de dimensión: dimensión de un espacio vectorial, dimensión topológica, dimensión fractal, etc.

También se usa el término "dimensión" para indicar el valor de una medida lineal o longitud recta de una figura geométrica u objeto físico, aunque dicho sentido no tiene relación con el concepto más abstracto de dimensión, que es el número de grados de libertad para realizar un movimiento en el espacio.

A continuación tenemos los diferentes tipos de dimensión.      

1.- Dimensiones físicas.

2.- Dimensiones matemáticas.

3.- Dimensiones de un espacio vectoral.

4.- Dimensión topológica.

5.- Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch.

4 Dimensiones físicas.

El mundo físico en el que vivimos parece de cuatro dimensiones perceptibles. Tradicionalmente, se separa en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal (y en la mayoría de los casos es razonable y práctico). Podemos movernos hacia arriba o hacia abajo, hacia el norte o sur, este u oeste, y los movimientos en cualquier dirección puede expresarse en términos de estos tres movimientos. Un movimiento hacia abajo es equivalente a un movimiento hacia arriba de forma negativa. Un movimiento norte-oeste es simplemente una combinación de un movimiento hacia el norte y de un movimiento hacia el oeste. El tiempo, a menudo, es la cuarta dimensión. Es diferente de las tres dimensiones espaciales ya que sólo hay uno, y el movimiento parece posible sólo en una dirección. En el nivel macroscópico los procesos físicos no son simétricos con respecto al tiempo. Pero, a nivel subatómico (escala de Planck), casi todos los procesos físicos son simétricos respecto al tiempo (es decir, las ecuaciones utilizadas para describir estos procesos son las mismas independientemente de la dirección del tiempo), aunque esto no significa que las partículas subatómicas puedan regresar a lo largo del tiempo. La Teoría de las cuerdas conjetura que el espacio en que vivimos tiene muchas más dimensiones (10, 11 o 26), pero que el universo medido a lo largo de estas dimensiones adicionales tienen tamaño subatómico. Estas ideas se basan en las ideas de los años 1920 en el contexto de las teorías de Kaluza-Klein. En las ciencias físicas y la ingeniería, del tamaño de una magnitud física es la expresión del tipo de unidades de medida en que esta cantidad se expresa. La dimensión de la velocidad, por ejemplo, resulta de dividir la longitud entre el tiempo. En el sistema SI, las dimensiones vienen dadas por siete magnitudes fundamentales relacionadas con las características físicas fundamentales.

5 Dimensiones Matemáticas.

En matemáticas, no existe una definición de dimensión que incluya de manera adecuada todas las situaciones. En consecuencia, los matemáticos han elaborado muchas definiciones de dimensión para los diferentes tipos de espacio. Todas, sin embargo, están en última instancia, basadas en el concepto de la dimensión de un espacio euclídeo.

6 Dimensión de un espacio Vectoral.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo que se dice que tiene dimensión si existe una base de cardinal n. En un espacio vectorial, todas las bases tienen el mismo cardinal, lo que hace de la dimensión el primer invariante del álgebra lineal. El espacio vectorial trivial {0} tiene como dimensión 0 porque el conjunto vacío es su base: una combinación de cero vector da el vector nulo. Intuitivamente hablando, la dimensión de un espacio vectorial nos dice cuántos elementos necesitamos para poder expresar cualquier elemento del espacio en términos de las combinaciones lineales de los primeros, i.e., cuántos elementos del espacio necesitamos para poder expresar todos los elementos del espacio como sumas de múltiplos de éstos elementos. Los espacios vectoriales de dimensión finita son muy comunes en muchas áreas de la ciencia, pero en matemáticas y física cuántica también aparecen casos importante de espacios vectoriales de dimensión infinita.

7 Dimensión Topológica.

La dimensión topológica es la que nos resulta más intuitiva y pragmática para comprender. Esta establece la dimensión de un punto = 0, la de una línea = 1, la de una superficie = 2, etc. Más formalmente escrito, un objeto tiene dimensión topológica m cuando cualquier recubrimiento de ese objeto, tiene como mínimo una dimensión topológica = m+1 (estableciendo previamente que el punto tiene dimensión topológica = 0). Aún más formalmente: la definición para conjuntos con dimensión topológica 0 queda como sigue: se dice que un conjunto F tiene dimensión topológica 0, DT(F)=0, si y sólo si para todo x perteneciente a F y cualquier conjunto abierto U (para la topología relativa de F) que contenga a x, existe un abierto V tal que x pertenece a V que está incluido en U y la frontera de V con la intersección a F es vacía.

8 Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch.

Esta dimensión es comúnmente confundible con la entropía de Kolmogórov o la dimensión de Minkowski Bouligand. La dimensión de Hausdorff-Besicovitch se obtiene como un punto de inflexión del valor de la potencia elegida en la longitud de Hausdorff cuando esta pasa de ser infinita a ser nula. La longitud de Hausdorff es la suma del diámetro topológico elevado a una potencia "s" de un recubrimiento entero del objeto a partir de entornos o cubrimientos de diámetro delta o menor a este del propio objeto.

Las muchas dimensiones del mundo físico. 

Nuestro sistema perceptivo nos muestra el mundo en el que nos movemos como un lugar de tres dimensiones espaciales y una temporal, sin duda suficientes para manejarnos sin demasiados problemas. 

Sin embargo, lo que es bueno para la vida cotidiana no lo es para la física: esta, empeñada en estudiar lo que ocurre en las situaciones más extremas, ha tenido que desarrollar sorprendentes modelos matemáticos para poder dar cuenta de las observaciones experimentales. Durante las primeras décadas del siglo XX se desarrollaron dos teorías de extraordinario éxito: la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. Ambas han sido corroboradas con más precisión que ninguna otra teoría desarrollada por los humanos. La primera, ampliando los éxitos de la mecánica newtoniana, es capaz de explicar cómo el espacio y el tiempo se curvan en presencia de la materia y la energía. La segunda descrive con notable precisión el anti-intuitivo comportamiento de las particulas elementales. La teoría de la relatividad reina en la cosmología. La mecánica cuántica, en el mundo subatómico. 

En resumen: se trata de dos teorías estupendas que funcionan muy bien cuando se aplican por separado. Sin embargo, cuando estudiamos situaciones en las que aparecen grandes masas y distancias minúsculas debemos utilizar ambas teorías a la vez, y aquí aparecen los problemas, pues las ecuaciones empiezan a producir probabilidades infinitas, lo que para cualquier físico solo puede significar una cosa: hay que buscar otra teoría. 

Supercuerdas. 

Desde hace varias décadas se está a la búsqueda un modelo matemático que asuma los éxitos de la relatividad y la mecánica cuántica y sea capaz de resolver el conflicto que existe entre ellas. Las más esperanzadoras propuestas son las llamadas teorías de supercuerdas, según las cuales las partículas elementales (los electrones, los quarks, etc.) son en el fondo pequeñísimas cuerdas cuyos patrones de resonancia da lugar a las cargas y las masas. Estos modelos (matemáticamente muy complejos), pese al atractivo de eliminar las probabilidades infinitas dieron lugar a probabilidades negativas, lo cual era casi tan malo como lo anterior. Entonces alguien se dio cuenta de que si las cuerdas vibrasen en un espacio de nueve dimensiones en vez de en uno de tres, las probabilidades negativas desaparecerían. 

Como juego intelectual está bien. Sin embargo, lo que no hay que olvidar es que estamos hablando del mundo que percibimos, y que lo que la física intenta describir es precisamente ese mundo. La pregunta entonces es evidente: ¿dónde están las dimensiones que no vemos? 


9 Dimensiones enrolladas 

Estamos habituados a pensar en el espacio como algo infinito o, al menos, ilimitado, y por ello pensamos también en las dimensiones como magnitudes potencialmente infinitas. Cuando para representar puntos se dibujan los ejes coordenados dibujamos para ello unas líneas que, aunque representadas por segmentos finitos, sabemos que se pueden prolongar cuanto se necesite. 

Sin embargo, esto no tiene porque ser así. Imaginemos que el mundo, en vez de ser aproximadamente esférico, fuese cilíndrico. Sobre un cilindro podemos indicar la posición de un punto mediante dos números, uno que nos dé su posición a lo largo de su generatriz, y otro que nos la de sobre su directriz (la circunferencia). En este mundo, una de las dimensiones vendría representada por una recta, pero la otra sería una dimensión "circular".  
Pues imaginemos ahora que la circunferencia del cilindro es tan pequeña que no se puede apreciar a simple vista. ¿Cómo verían un mundo así sus habitantes? Para ellos no habría ninguna diferencia con un mundo unidimensional, pues solo se podrían desplazar en una dirección, pero no recorrer la circunferencia, que ni siquiera ven. Para ellos su mundo tendría una sola dimensión, cuando nosotros, observadores exteriores, sabemos que tiene dos.  
Pues algo así propone la física contemporánea para nuestro universo: el espacio tiene tres “grandes” dimensiones (que también pueden estar enrolladas, por cierto) que son las que percibimos y después un número aún no determinado de dimensiones (nueve espaciales según las terorías de supercuerdas, diez según la teoría M que pretende unificarlas) adicionales enrolladas sobre sí mismas en las que, a causa de su mínimo tamaño, solo se pueden mover las pequeñas cuerdas vibrantes que dicen constituyen el nivel más elemental de la materia y la energía (de momento). 

Es interesante señalar que la teoría restringe la forma de tales dimensiones extra a un tipo determinado de estructura multi-dimensional: los espacios de Calabi-Yau, desarrollados antes de que existiese la teoría de cuerdas por... Calabi y Yau 

10 Apéndice: idea intuitiva de dimensión 
De modo informal podemos decir que la dimensión de un objeto es la mínima cantidad de números que necesitamos para indicar una cierta posición sobre él (a estos números se les llama coordenadas). Veámoslo con ejemplos 

Dimensión 1 
 
Si estamos en una carretera y alguien nos pregunta por un pueblo situado en esa misma carretera solo necesitaremos contestar un número: la distancia a la que se encuentra el pueblo (y el sentido, naturalmente, pero esa información podemos darla mediante el signo del número). Una carretera es un objeto de una dimensión 

Dimensión 2  
Imaginémonos ahora en una gran ciudad de calles perpendiculares: si alguien nos pregunta por un determinado edificio deberemos dar dos números: diremos, señalando cierta dirección, que para llegar al edificio citado hay que avanzar de frente un cierto número de bloques y después otro cierto número de bloques, bien a la izquierda o bien a la derecha. El plano de una ciudad es un objeto de dos dimensiones. 

Otro ejemplo de objeto bidimensional sería la superficie de la Tierra, sobre la cual, para orientarnos, solo necesitamos dos números: la latitud y la longitud. 

Dimensión 3  
Si lo que nos piden es algo más preciso, como la forma de llegar a nuestra casa, y resulta que vivimos en un bloque de pisos, debemos dar entonces un número más: la planta en la que se encuentra. La ciudad real, con sus bloques de pisos, es un objeto de tres dimensiones. Otro objeto tridimensional es el propio espacio: supongamos que, hartos de los humos de la gran ciudad, decidimos dar un paseo en globo, y que tras un rato de navegación el viento deja de empujarnos y nos quedamos completamente parados. ¿Dónde nos encontramos? Si llevamos el GPS a mano será fácil averiguarlo: le damos a un botón y en la pantalla aparecerán tres números: la latitud y la longitud del lugar sobre el que nos encontramos más uno tercero: la altura. 

Grados de libertad. 

El número de dimensiones es una forma de medir la libertad que ofrece el objeto geométrico para sus hipotéticos habitantes: dentro de una línea solo se puede ir en un sentido o en otro. En un plano se puede, además, cambiar de dirección.